Cálculo Ejemplos

$y = 7 \sin^{3} (3 x + 4)$

Paso 1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \sin^{3} (3 x + 4)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (3 x + 4)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (3 x + 4)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (3 x + 4)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (3 x + 4)$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$7 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (3 x + 4)$ .

$7 (3 \sin^{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Paso 3

Multiplica $3$ por $7$ .

$21 (\sin^{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x + 4$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x + 4$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Paso 4.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x + 4$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) (\cos (3 x + 4) \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 5.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 + 0)$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) \cdot 3$

Paso 5.6.2

Multiplica $3$ por $21$ .

$63 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4)$