Cálculo Ejemplos

$y = 7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}]$ .

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Paso 2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{x^{3} + 2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3} + 2$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3} + 2$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$7 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3} + 2$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.6

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $7$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3} + 2$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3} + 2$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3} + 2$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)$

Paso 3.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2})$

Paso 3.6

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{3} + 2}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3}{x^{3} + 2} x^{2}$

Paso 3.7

Combina $\frac{3}{x^{3} + 2}$ y $x^{2}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina los términos.

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Paso 4.1.1

Para escribir $21 e^{x^{3} + 2} x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{3} + 2}{x^{3} + 2}$ .

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Paso 4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2) + 3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{2} + 21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2}$