Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 2.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + 0)$

Paso 2.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Paso 3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.2.3

Reescribe el polinomio.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $2 x - 4$ por $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x - 2$ y ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $x - 2$ de $2 (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Paso 3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x - 2}$