Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\arctan (3 x^{4}))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \arctan (3 x^{4})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 (x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 3.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 3.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ por $\frac{1}{\arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (4 x^{3})$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Combina $4$ y $\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Paso 3.6.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ y $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 x^{3}}{1 \arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Paso 4.2

Multiplica $\arctan (3 x^{4})$ por $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{12 x^{3}}{9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})}$

Paso 4.4

Factoriza $\arctan (3 x^{4})$ de $9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $\arctan (3 x^{4})$ de $9 x^{8} \arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4})}$

Paso 4.4.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1}$

Paso 4.4.3

Factoriza $\arctan (3 x^{4})$ de $\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8} + 1)}$