Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\sqrt[3]{3 x})$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{3}})]$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{3}})]$

Paso 1.3

Aplica la regla del producto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $3^{\frac{1}{3}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} (3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $3^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 7.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 10

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.2

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 12.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Paso 12.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.1.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Paso 12.2

Simplifica $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$