Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\ln (\cos (x)))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 4

Combina $\sec (x)$ y $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ .

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} (- \sin (x))$

Paso 6

Combina $\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))}$ y $\sin (x)$ .

$- \frac{\sec (x) \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

Paso 7.1.2

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

Paso 7.1.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$

Paso 7.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

Paso 7.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\ln (\cos (x))})$

Paso 7.4

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \ln (\cos (x))}$

Paso 7.5

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Paso 7.6

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

Paso 7.7

Combina $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ y $\tan (x)$ .

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$