Cálculo Ejemplos

$y = \log (| 5 - 3 x |)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log (x)$ y $g (x) = | 5 - 3 x |$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| 5 - 3 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Paso 1.2

La derivada de $\log (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| 5 - 3 x |$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 5 - 3 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 - 3 x$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Paso 2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 - 3 x$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x |} \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Paso 3

Multiplica $\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x |}$ por $\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)}$ .

$\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x | (| 5 - 3 x | \ln (10))} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Paso 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{5 - 3 x}{| (5 - 3 x) (5 - 3 x) | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Paso 5

Eleva $5 - 3 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1} (5 - 3 x) | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Paso 6

Eleva $5 - 3 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1} {(5 - 3 x)}^{1} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1 + 1} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 10

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 12

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Combina $- 3$ y $\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)}$ .

$\frac{- 3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \cdot 1$

Paso 15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)}$