Cálculo Ejemplos

$y = \sin (\sec (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (\sec (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Paso 3.2

Combina $\cos (\sec (x))$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)$

Paso 3.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 3.4.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Paso 3.4.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Paso 3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Paso 3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 3.6

Separa las fracciones.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$

Paso 3.7

Reescribe $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ como un producto.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 3.8

Escribe $\cos (\sec (x))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Divide $\cos (\sec (x))$ por $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 3.9.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))$

Paso 3.10

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)$