Cálculo Ejemplos

$y = x \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \arctan (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2}) + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Combina $\frac{x}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ y $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{x^{1 - 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $\arctan (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{1 x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3

Combina los términos.

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Paso 8.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1^{2}}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x^{2}} x} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $x$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 8.3.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x^{1}}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.4.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.4.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.4.3.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{x + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \arctan (\frac{1}{x})$

Paso 8.3.5

Para escribir $\arctan (\frac{1}{x})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$ .

$- \frac{1}{x + \frac{1}{x}} + \frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Paso 8.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + \arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})}{x + \frac{1}{x}}$

Paso 8.4

Reordena los términos.

$\frac{\arctan (\frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) - 1}{x + \frac{1}{x}}$