Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x} + 1$ y $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Combina los términos opuestos en $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

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Paso 7.4.1.1

Resta $e^{x} e^{x}$ de $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.4.1.2

Resta $1 e^{x}$ de $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.2.1

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.4.2.3

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.4.3

Resta $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Paso 7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$