Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{2 x + 3}}{{(4 x - 1)}^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{2 x + 3}$ y $g (x) = {(4 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{({(4 x - 1)}^{3})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${({(4 x - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x + 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 4.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + 0) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} \cdot 2 - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 4.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ .

$\frac{2 \cdot ({(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 4 x - 1$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + 0))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.7.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \cdot 4)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.7.2

Mueve $4$ a la izquierda de ${(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} (4 \cdot {(4 x - 1)}^{2})}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 6.7.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ de $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ de $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ de $- 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ de $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1 - 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 7.1.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de ${(4 x - 1)}^{2}$ y ${(4 x - 1)}^{6}$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza ${(4 x - 1)}^{2}$ de $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza ${(4 x - 1)}^{2}$ de ${(4 x - 1)}^{6}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{4}}$