Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{4 x} - 2}{e^{4 x} + 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{4 x} - 2$ y $g (x) = e^{4 x} + 2$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2] - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (4 \cdot e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (4 e^{4 x} + 0) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $4 e^{4 x}$ y $0$ .

$\frac{(e^{4 x} + 2) (4 e^{4 x}) - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x} + 2$ .

$\frac{4 \cdot (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} + 2]}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 4.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{4 x} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 6.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (4 \cdot e^{4 x} + \frac{d}{d x} [2])}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 6.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x} + 0)}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1

Suma $4 e^{4 x}$ y $0$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x})}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 6.5.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 (e^{4 x} + 2) e^{4 x} - 4 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 e^{4 x} + 4 \cdot 2) e^{4 x} - 4 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + (- 4 e^{4 x} - 4 \cdot - 2) e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 e^{4 x} e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Combina los términos opuestos en $4 e^{4 x} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 e^{4 x} e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Resta $4 e^{4 x} e^{4 x}$ de $4 e^{4 x} e^{4 x}$ .

$\frac{4 \cdot 2 e^{4 x} + 0 - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.5.1.2

Suma $4 \cdot 2 e^{4 x}$ y $0$ .

$\frac{4 \cdot 2 e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.5.2.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 e^{4 x} - 4 \cdot - 2 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.5.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{8 e^{4 x} + 8 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$

Paso 7.5.3

Suma $8 e^{4 x}$ y $8 e^{4 x}$ .

$\frac{16 e^{4 x}}{{(e^{4 x} + 2)}^{2}}$