Cálculo Ejemplos

$y = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x - 3$ y $g (x) = 5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x + 1) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Multiplica $5$ por $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.12

Combina fracciones.

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Paso 3.12.1

Suma $5$ y $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.12.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.12.3

Combina $\frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ y $4$ .

$\frac{(2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)) \cdot 4}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Paso 3.12.4

Mueve $4$ a la izquierda de $2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{4 (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 (5 x)) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5

Combina los términos.

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Paso 4.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{4 (10 x) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $10$ por $4$ .

$\frac{40 x + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{40 x + 4 \cdot 2 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.5

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 10 x) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.6

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.7

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 \cdot 15}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.8

Multiplica $4$ por $15$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.9

Resta $40 x$ de $40 x$ .

$\frac{0 + 8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.10

Suma $0$ y $8$ .

$\frac{8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.11

Suma $8$ y $60$ .

$\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.12

Multiplica $\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{3}}$

Paso 4.5.13

Multiplica ${(5 x + 1)}^{2}$ por ${(5 x + 1)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2 + 3}}$

Paso 4.5.13.2

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{5}}$