Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3} - 2}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} - 2$ y $g (x) = \sec (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 2.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 3.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 4

Factoriza $\sec (4 x^{2})$ de $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

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Paso 4.1

Factoriza $\sec (4 x^{2})$ de $- (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 4.2

Factoriza $\sec (4 x^{2})$ de $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $\sec (4 x^{2})$ de $\sec^{2} (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (2 x))}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 9

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} + (- 8 x^{3} - 8 \cdot - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{3} (\tan (4 x^{2}) x) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x \cdot x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 10.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{1} x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{1 + 3} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10.3.1.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10.3.1.2

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x}{\sec (4 x^{2})}$

Paso 10.3.2

Reordena los factores en $3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 x \tan (4 x^{2})}{\sec (4 x^{2})}$