Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$

Paso 1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} \cdot \arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Paso 2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) \cdot 4} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Paso 3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} (4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}])$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})}$ .

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4 (1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2})} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Paso 3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}]$

Paso 4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 + 5 \cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + 5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + 5 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 6.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 6.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 6.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 6.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 7

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) - 5 \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}} \cdot \frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 13

Multiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}}$ por $\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + {(\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)})}^{2}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4 \sin (x)}{3 + 5 \cos (x)}$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{{(4 \sin (x))}^{2}}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.2

Aplica la regla del producto a $4 \sin (x)$ .

$\frac{(3 + 5 \cos (x)) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4

Simplifica el numerador.

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Paso 14.4.1

Multiplica $5 \cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 14.4.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 \cos (x) + 5 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.2

Factoriza $5$ de $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 \sin^{2} (x)}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.3

Factoriza $5$ de $5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.4

Factoriza $5$ de $5 (\cos^{2} (x)) + 5 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.5

Reorganiza los términos.

$\frac{3 \cos (x) + 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{3 \cos (x) + 5 \cdot 1}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.4.7

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{4^{2} \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \cos (x) + 5}{(1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}}) {(3 + 5 \cos (x))}^{2}}$

Paso 14.6

Reordena los términos.

$\frac{5 + 3 \cos (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2} (1 + \frac{16 \sin^{2} (x)}{{(3 + 5 \cos (x))}^{2}})}$