Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ .

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.2

Combina $\frac{x}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.3

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x e^{4 x}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.9

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.10

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 2.11

Multiplica $e^{4 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

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Paso 3.1

Como $- \frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

Paso 3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

Paso 3.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

Paso 3.8

Combina $- 4$ y $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

Paso 3.9

Combina $\frac{- 4}{16}$ y $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

Paso 3.10

Cancela el factor común de $- 4$ y $16$ .

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Paso 3.10.1

Factoriza $4$ de $- 4 e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

Paso 3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

Paso 3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

Paso 3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

Paso 3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.2

Combina $4$ y $\frac{x}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{4 x}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x e^{4 x}$ por $1$ .

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.5

Para escribir $x e^{4 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.6

Combina $x e^{4 x}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.8

Mueve $4$ a la izquierda de $x e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.9

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.10

Para escribir $\frac{1}{4} e^{4 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.11

Combina $\frac{1}{4} e^{4 x}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.13

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.14

Combina $\frac{e^{4 x}}{4}$ y $4$ .

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.15

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.16

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.16.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.16.2

Divide $e^{4 x}$ por $1$ .

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Paso 4.2.17

Resta $e^{4 x}$ de $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

Paso 4.2.18

Suma $4 e^{4 x} x$ y $0$ .

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Paso 4.2.19

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.19.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Paso 4.2.19.2

Divide $e^{4 x} x$ por $1$ .

$e^{4 x} x$

Paso 4.3

Reordena los factores en $e^{4 x} x$ .

$x e^{4 x}$