Cálculo Ejemplos

$y = \frac{500}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Cancela el factor común de $500$ y $12 + 4 e^{- 0.5 x}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $500$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{12 + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Paso 1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 e^{- 0.5 x}}]$

Paso 1.1.2.2

Factoriza $4$ de $4 e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})}]$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (3) + 4 (e^{- 0.5 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Paso 1.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 \cdot 125}{4 (3 + e^{- 0.5 x})}]$

Paso 1.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Paso 1.2

Como $125$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{125}{3 + e^{- 0.5 x}}$ con respecto a $x$ es $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}]$

Paso 1.3

Reescribe $\frac{1}{3 + e^{- 0.5 x}}$ como ${(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}$ .

$125 \frac{d}{d x} [{(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 3 + e^{- 0.5 x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$125 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 + e^{- 0.5 x}$ .

$125 (- {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $125$ .

$- 125 ({(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 + e^{- 0.5 x}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + e^{- 0.5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 0.5 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 0.5 x$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.5 x$ con respecto a $x$ es $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 125 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Multiplica $- 0.5$ por $- 125$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} (e^{- 0.5 x} \cdot 1)$

Paso 5.4

Multiplica $e^{- 0.5 x}$ por $1$ .

$62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $62.5 {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2} e^{- 0.5 x}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} {(3 + e^{- 0.5 x})}^{- 2}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$

Paso 6.3

Multiplica $62.5 e^{- 0.5 x} \frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ .

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ y $62.5$ .

$\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}} e^{- 0.5 x}$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{62.5}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$ y $e^{- 0.5 x}$ .

$\frac{62.5 e^{- 0.5 x}}{{(3 + e^{- 0.5 x})}^{2}}$