Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\sec (4 x)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sec (4 x)}$ como ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.6.3

Mueve ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 4.7.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 4.8

Combina fracciones.

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Paso 4.8.1

Combina $\sec (4 x)$ y $\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 4.8.2

Combina $\tan (4 x)$ y $\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.8.3

Mueve ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.9

Multiplica $\sec (4 x)$ por ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.9.1

Mueve ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.9.2

Multiplica ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ por $\sec (4 x)$ .

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Paso 4.9.2.1

Eleva $\sec (4 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.9.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.9.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.11

Simplifica los términos.

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Paso 4.11.1

Combina $4$ y $\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.11.2

Factoriza $2$ de $4 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.12.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.12.4

Divide $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 4.14

Simplifica la expresión.

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Paso 4.14.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.14.2

Reordena los factores de $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$