Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{\cos (x - 9)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\cos (x - 9)}$ como ${\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \cos (x - 9)$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x - 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x - 9)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.6

Combina fracciones.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.6.3

Mueve ${\cos (x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x - 9)]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x - 9$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 9$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 4.7.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 9$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 4.8

Diferencia.

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Paso 4.8.1

Combina $\frac{1}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\sin (x - 9)$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 4.8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 4.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 4.8.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 4.8.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.8.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 4.8.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{\sin (x - 9)}{2 {\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.9

Simplifica.

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Paso 4.9.1

Separa las fracciones.

$- (\frac{\sin (x - 9)}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.9.2

Convierte de $\frac{1}{{\cos (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ a ${\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{\sin (x - 9)}{2} {\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.9.3

Combina $\frac{\sin (x - 9)}{2}$ y ${\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x - 9) {\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.9.4

Reordena los factores en $- \frac{\sin (x - 9) {\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{{\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}} \sin (x - 9)}{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{{\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}} \sin (x - 9)}{2}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{\sec (x - 9)}^{\frac{1}{2}} \sin (x - 9)}{2}$