Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\ln (x)}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Paso 4.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 4.2.1

Reescribe $x^{\ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Paso 4.2.2

Expande $\ln (x^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Paso 4.3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Paso 4.4

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 4.8

Combina $e^{\ln^{2} (x)}$ y $\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 4.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.10

Combina fracciones.

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Paso 4.10.1

Combina $2$ y $\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.10.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.11

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 4.12

Multiplica $\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Paso 4.13

Multiplica $x^{\ln (x)}$ por $x$ .

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Paso 4.13.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Paso 4.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 4.14

Simplifica el numerador.

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Paso 4.14.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 4.14.2

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 4.14.3

Reordena los factores en $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$