Cálculo Ejemplos

y = ln ({(x)}^{ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

y = ln (x^{ln (x)})

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (ln (x^{ln (x)}))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Paso 3

La derivada de

y

$y$ con respecto a

x

$x$ es

$y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = \ln (x)$ y

$g (x) = x^{\ln (x)}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u_{1}$ como

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Paso 4.1.2

La derivada de

$\ln (u_{1})$ con respecto a

$u_{1}$ es

$\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de

$u_{1}$ con

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Paso 4.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 4.2.1

Reescribe

$x^{\ln (x)}$ como

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Paso 4.2.2

Expande

$\ln (x^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve

$\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Paso 4.3

Eleva

$\ln (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Paso 4.4

Eleva

$\ln (x)$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Paso 4.6

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = e^{x}$ y

$g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u_{2}$ como

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es

$a^{u_{2}} \ln (a)$ donde

$a$ =

$e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de

$u_{2}$ con

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 4.8

Combina

$e^{\ln^{2} (x)}$ y

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{2}$ y

$g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 4.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u_{3}$ como

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es

$n {u_{3}}^{n - 1}$ donde

$n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.9.3

Reemplaza todos los casos de

$u_{3}$ con

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.10

Combina fracciones.

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Paso 4.10.1

Combina

$2$ y

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 4.10.2

Combina

$\ln (x)$ y

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.11

La derivada de

$\ln (x)$ con respecto a

$x$ es

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 4.12

Multiplica

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ por

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Paso 4.13

Multiplica

$x^{\ln (x)}$ por

$x$ .

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Paso 4.13.1

Eleva

$x$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Paso 4.13.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 4.14

Simplifica el numerador.

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Paso 4.14.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 4.14.2

Simplifica

$2 \ln (x)$ al mover

$2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 4.14.3

Reordena los factores en

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Paso 6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$