Cálculo Ejemplos

$y = 8 + x^{3} e^{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 + x^{3} e^{y})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + x^{3} e^{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$

Paso 3.1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{y}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{y}$ .

$0 + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$0 + x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$0 + x^{3} (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + x^{3} (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + x^{3} (e^{y} y') + e^{y} (3 x^{2})$

Paso 3.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{y}$ .

$0 + x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Suma $0$ y $x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$ .

$x^{3} e^{y} y' + 3 e^{y} x^{2}$

Paso 3.3.2

Reordena los términos.

$e^{y} x^{3} y' + 3 e^{y} x^{2}$

Paso 3.3.3

Reordena los factores en $e^{y} x^{3} y' + 3 e^{y} x^{2}$ .

$x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $x^{3} e^{y} y' + 3 x^{2} e^{y}$ .

$y' = x^{3} y' e^{y} + 3 x^{2} e^{y}$

Paso 5.2

Resta $x^{3} y' e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - x^{3} y' e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $y' - x^{3} y' e^{y}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x^{3} y' e^{y} = 3 x^{2} e^{y}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- x^{3} y' e^{y}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x^{3} e^{y})$ .

$y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$ por $1 - x^{3} e^{y}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (1 - x^{3} e^{y}) = 3 x^{2} e^{y}$ por $1 - x^{3} e^{y}$ .

$\frac{y' (1 - x^{3} e^{y})}{1 - x^{3} e^{y}} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x^{3} e^{y}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - x^{3} e^{y})}{1 - x^{3} e^{y}} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} e^{y}}{1 - x^{3} e^{y}}$