Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\arctan (2 x^{3}))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\arctan (2 x^{3})))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \arctan (2 x^{3})$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x^{3})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\arctan (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + {(2 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 (x^{3})$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{\arctan (2 x^{3})} (\frac{1}{1 + 4 x^{6}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $\frac{1}{1 + 4 x^{6}}$ por $\frac{1}{\arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} (3 x^{2})$

Paso 3.3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.3.6.1

Combina $3$ y $\frac{2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})} x^{2}$

Paso 3.3.6.3

Combina $\frac{6}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$ y $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(1 + 4 x^{6}) \arctan (2 x^{3})}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x^{2}}{1 \arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\arctan (2 x^{3})$ por $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) + 4 x^{6} \arctan (2 x^{3})}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$\frac{6 x^{2}}{4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})}$

Paso 3.4.4

Factoriza $\arctan (2 x^{3})$ de $4 x^{6} \arctan (2 x^{3}) + \arctan (2 x^{3})$ .

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $\arctan (2 x^{3})$ de $4 x^{6} \arctan (2 x^{3})$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3})}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1}$

Paso 3.4.4.3

Factoriza $\arctan (2 x^{3})$ de $\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6}) + \arctan (2 x^{3}) \cdot 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{\arctan (2 x^{3}) (4 x^{6} + 1)}$