Cálculo Ejemplos

$z = 2 x - 3 x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (2 x - 3 x y)$

Paso 2

Como $z$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $z$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3 x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 - 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 - 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 - 3 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 - 3 (x y' + y)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - 3 (x y') - 3 y$

Paso 3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 - 3 x y' - 3 y$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$- 3 x y' - 3 y + 2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = - 3 x y' - 3 y + 2$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 x y' - 3 y + 2 = 0$ .

$- 3 x y' - 3 y + 2 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x y' + 2 = 3 y$

Paso 5.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x y' = 3 y - 2$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 3 x y' = 3 y - 2$ por $- 3 x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 3 x y' = 3 y - 2$ por $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ y $- 3$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$y' = \frac{3 (y)}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (y)}{3 (- x)} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 y}{3 (- x)} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Paso 5.3.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{3 x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{2}{3 x}$