Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Paso 2

Mueve ${(1 - t)}^{- 2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 2}$ y $g (t) = 1 - t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Paso 4

Multiplica ${(1 - t)}^{2}$ por ${(1 - t)}^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve ${(1 - t)}^{- 3}$ .

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Paso 4.3

Suma $- 3$ y $2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Paso 6

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Paso 7

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 8

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 9.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 - t)}^{- 1}$ .

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

Paso 11

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{1 - t}$

Paso 12.2

Combina $2$ y $\frac{1}{1 - t}$ .

$\frac{2}{1 - t}$