Cálculo Ejemplos

$y = (1 + x - x^{2}) e^{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + x - x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(1 + x - x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x - x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - (2 x))$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(1 + x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} (1 - 2 x)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Paso 4.3

Combina los términos.

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Paso 4.3.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 2 x)$

Paso 4.3.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} + x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Paso 4.3.3

Suma $e^{x}$ y $e^{x}$ .

$x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

Paso 4.3.4

Suma $x e^{x}$ y $e^{x} (- 2 x)$ .

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Paso 4.3.4.1

Mueve $e^{x}$ .

$x e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 4.3.4.2

Resta $2 x e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

Paso 4.5

Reordena los factores en $- e^{x} x - e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ .

$- x e^{x} - x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$