Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ no está definida.

$x < 0, x = 4$

Paso 2

Como $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $4$ desde la izquierda y $\frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $4$ desde la derecha, entonces $x = 4$ es una asíntota vertical.

$x = 4$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x - 4 \sqrt{x} + 4}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x}}}{1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{4 \sqrt{x}}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite.

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Paso 3.4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{4 \sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.4.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.1.2

A medida que $x$ se acerca a $\infty$ para los radicales, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 \frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.9

Simplifica.

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Paso 3.5.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.9.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.5.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.6

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Paso 3.8

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.10.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.10.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.10.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 3.10.2.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Paso 3.10.2.4

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 3.10.2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 3.10.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 5

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 4$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7