Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5 x^{2} - 9}{8 x + 7}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{5 x^{2} - 9}{8 x + 7}$ no está definida.

$x = - \frac{7}{8}$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$8 x$

$7$

$5 x^{2}$

$0 x$

$9$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $8 x$ .

					$\frac{5 x}{8}$
	$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{5 x}{8}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			+	$5 x^{2}$	+	$\frac{35 x}{8}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{2} + \frac{35 x}{8}$ .

				$\frac{5 x}{8}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{35 x}{8}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{5 x}{8}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{35 x}{8}$
					-	$\frac{35 x}{8}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{5 x}{8}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{35 x}{8}$
					-	$\frac{35 x}{8}$	-	$9$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- \frac{35 x}{8}$ por el término de mayor orden en el divisor $8 x$ .

				$\frac{5 x}{8}$	-	$\frac{35}{64}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{35 x}{8}$
					-	$\frac{35 x}{8}$	-	$9$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{5 x}{8}$	-	$\frac{35}{64}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{35 x}{8}$
					-	$\frac{35 x}{8}$	-	$9$
					-	$\frac{35 x}{8}$	-	$\frac{245}{64}$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- \frac{35 x}{8} - \frac{245}{64}$ .

				$\frac{5 x}{8}$	-	$\frac{35}{64}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{35 x}{8}$
					-	$\frac{35 x}{8}$	-	$9$
					+	$\frac{35 x}{8}$	+	$\frac{245}{64}$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{5 x}{8}$	-	$\frac{35}{64}$
$8 x$	+	$7$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
			-	$5 x^{2}$	-	$\frac{35 x}{8}$
					-	$\frac{35 x}{8}$	-	$9$
					+	$\frac{35 x}{8}$	+	$\frac{245}{64}$
							-	$\frac{331}{64}$

Paso 5.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{5 x}{8} - \frac{35}{64} - \frac{331}{64 (8 x + 7)}$

Paso 5.12

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = \frac{5 x}{8} - \frac{35}{64}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{7}{8}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = \frac{5 x}{8} - \frac{35}{64}$

Paso 7