Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Paso 3.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Paso 3.1.1.2.2

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $2$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 3.1.1.2.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $2$ eliminado.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Paso 3.1.1.2.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Paso 3.1.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Paso 3.1.1.2.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.1.2.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Paso 3.1.1.2.3.2.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Paso 3.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 3.1.1.3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 3.1.1.3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Paso 3.1.1.3.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.1.1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Paso 3.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Paso 3.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{x} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Paso 3.1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Paso 3.1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Paso 3.1.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Paso 3.1.3.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Paso 3.1.3.5

Suma $2 e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Paso 3.1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.1.3.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 3.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

Paso 3.1.3.9

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 3.1.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Paso 3.1.4.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2$

Paso 4

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 4.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Paso 4.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Paso 4.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Paso 4.2

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Paso 4.3

Evalúa el límite.

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Paso 4.3.1

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Paso 4.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 4.4

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 4.5

Evalúa el límite.

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Paso 4.5.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Paso 4.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

Paso 4.5.2.1.3

Resta $6$ de $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

Paso 4.5.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

Paso 4.5.2.3

Divide $- 6$ por $1$ .

$- 6$

Paso 5

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 2, - 6$

Paso 6

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 2, - 6$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 8