Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ no está definida.

$x = \ln (9)$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Paso 2.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Paso 2.2.1.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - 9}$

Paso 2.2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

Paso 2.2.1.3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 9}$

Paso 2.2.1.3.3

Evalúa el límite.

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Paso 2.2.1.3.3.1

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 9}$

Paso 2.2.1.3.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.1.3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$2 \frac{\infty}{\infty - 9}$

Paso 2.2.1.3.3.2.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.3.3.2.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.3.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Paso 2.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 9]}$

Paso 2.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Paso 2.2.3.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}$

Paso 2.2.3.6

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 lim_{x \to \infty} 1$

Paso 2.3

Evalúa el límite.

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Paso 2.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 9}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - 9}$

Paso 3.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Paso 3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - 9}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 9}$

Paso 3.4

Como el exponente $x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $0$ .

$2 \frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} 9}$

Paso 3.5

Evalúa el límite.

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Paso 3.5.1

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

Paso 3.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $0 - 1 \cdot 9$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 \cdot 9}$

Paso 3.5.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 9$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0) - 1 (9)}$

Paso 3.5.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (0) - 1 (9)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 9)}$

Paso 3.5.2.1.4

Factoriza $9$ de $0$ .

$2 \frac{9 (0)}{- 1 (0 + 9)}$

Paso 3.5.2.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1.5.1

Factoriza $9$ de $- 1 (0 + 9)$ .

$2 \frac{9 (0)}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Paso 3.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{9 \cdot 0}{9 (- 1 (0 + 1))}$

Paso 3.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{0}{- 1 (0 + 1)}$

Paso 3.5.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{0}{- 1})$

Paso 3.5.2.4

Divide $0$ por $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 2, 0$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \ln (9)$

Asíntotas horizontales: $y = 2, 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7