Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.5.2

Resta $7$ de $6$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.6

Combina fracciones.

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Paso 1.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.6.2

Combina $\frac{6}{7}$ y ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ .

$\frac{6 {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.6.3

Mueve ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 1.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 1.1.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

Paso 1.1.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

Paso 1.1.10.2

Multiplica $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 = 0$

Paso 2.3

Como $6 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{{(x + 2)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$7 \sqrt[7]{x + 2} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $7$ ambos lados de la ecuación.

${(7 \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = 0^{7}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

$7^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $7$ .

$823543 {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$823543 {(x + 2)}^{1} = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$823543 (x + 2) = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$823543 x + 823543 \cdot 2 = 0^{7}$

Paso 3.3.2.2.1.6

Multiplica $823543$ por $2$ .

$823543 x + 1647086 = 0^{7}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$823543 x + 1647086 = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Resta $1647086$ de ambos lados de la ecuación.

$823543 x = - 1647086$

Paso 3.3.3.2

Divide cada término en $823543 x = - 1647086$ por $823543$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.1

Divide cada término en $823543 x = - 1647086$ por $823543$ .

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Paso 3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $823543$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Paso 3.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1647086}{823543}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Divide $- 1647086$ por $823543$ .

$x = - 2$

Paso 4

Evalúa ${(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

${((- 2) + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$0^{\frac{6}{7}}$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{7}$ .

${(0^{7})}^{\frac{6}{7}}$

Paso 4.1.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Paso 4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$0^{6}$

Paso 4.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(- 2, 0)$

Paso 5