Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $1 - e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $1 - e^{x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 + e^{x} = y (1 - e^{x})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $y (1 - e^{x})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + e^{x} = y \cdot 1 + y (- e^{x})$

Paso 3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 + e^{x} = y + y (- e^{x})$

Paso 3.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 + e^{x} = y - y e^{x}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Suma $y e^{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$1 + e^{x} + y e^{x} = y$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x} + y e^{x} = y - 1$

Paso 4.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} + y e^{x}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica por $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + y e^{x} = y - 1$

Paso 4.3.2

Factoriza $e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} y = y - 1$

Paso 4.3.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} y$ .

$e^{x} (1 + y) = y - 1$

Paso 4.4

Divide cada término en $e^{x} (1 + y) = y - 1$ por $1 + y$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $e^{x} (1 + y) = y - 1$ por $1 + y$ .

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x} = \frac{y - 1}{1 + y}$

Paso 4.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Paso 4.6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.6.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Paso 4.6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Paso 4.6.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$