Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\frac{x}{x - 1})$

Paso 1

Multiplica la ecuación por $x - 1$ .

$(x - 1) (y) = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica $(x - 1) (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x y - 1 y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$x y - y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica $(\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x + \ln (\frac{x}{x - 1}) \cdot - 1$

Paso 3.1.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - 1 \cdot \ln (\frac{x}{x - 1})$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 1 \ln (\frac{x}{x - 1})$ como $- \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Paso 3.1.3

Reordena los factores en $\ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = x \ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- x \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x}{x - 1}) = - x y + y$

Paso 5

Reescribe la ecuación como $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$

Paso 6

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x}{x - 1})} = e^{y}$

Paso 7

Reescribe $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{y} = \frac{x}{x - 1}$

Paso 8

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica la ecuación por $x - 1$ .

$(x - 1) (e^{y}) = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica $(x - 1) (e^{y})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x e^{y} - 1 e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Paso 8.2.1.2

Reescribe $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$x e^{y} - e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común.

$x e^{y} - e^{y} = \frac{x}{x - 1} (x - 1)$

Paso 8.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x e^{y} - e^{y} = x$

Paso 8.4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x e^{y} - e^{y} - x = 0$

Paso 8.4.2

Suma $e^{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$x e^{y} - x = e^{y}$

Paso 8.4.3

Factoriza $x$ de $x e^{y} - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.3.1

Factoriza $x$ de $x e^{y}$ .

$x (e^{y}) - x = e^{y}$

Paso 8.4.3.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x (e^{y}) + x \cdot - 1 = e^{y}$

Paso 8.4.3.3

Factoriza $x$ de $x (e^{y}) + x \cdot - 1$ .

$x (e^{y} - 1) = e^{y}$

Paso 8.4.4

Divide cada término en $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ por $e^{y} - 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.1

Divide cada término en $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ por $e^{y} - 1$ .

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Paso 8.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{y} - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Paso 8.4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$