Cálculo Ejemplos

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Paso 1

Resta $\cos^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2

Reemplaza $3 \sin^{2} (x)$ con $3 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Paso 4

Resta $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 5

Reordena el polinomio.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Paso 6

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Paso 7

Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 7.2.1.2

Divide $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Paso 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 9

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 9.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 9.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 12

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 12.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 12.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 12.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Paso 12.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 12.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 12.4.2

Combina fracciones.

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Paso 12.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 12.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 12.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Paso 12.4.3.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Paso 12.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 12.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 12.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 13.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 13.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Paso 13.4

Simplifica $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Paso 13.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 13.4.2

Combina fracciones.

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Paso 13.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Paso 13.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Paso 13.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.3.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Paso 13.4.3.2

Resta $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Paso 13.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Consolida las soluciones.

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Paso 15.1

Consolida $\frac{π}{6} + 2 π n$ y $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15.2

Consolida $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $(0, 2 π)$ .

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Paso 16.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Paso 16.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Paso 16.1.2

Simplifica.

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Paso 16.1.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Paso 16.1.2.2

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$\frac{π}{6}$

Paso 16.1.3

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 16.2

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Paso 16.2.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Paso 16.2.2

Simplifica.

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Paso 16.2.2.1

Multiplica $π$ por $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Paso 16.2.2.2

Suma $\frac{5 π}{6}$ y $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Paso 16.2.3

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Paso 16.3

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Paso 16.3.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Paso 16.3.2

Simplifica.

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Paso 16.3.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Paso 16.3.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Paso 16.3.2.3

Combina fracciones.

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Paso 16.3.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Paso 16.3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Paso 16.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 16.3.2.4.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Paso 16.3.2.4.2

Suma $π$ y $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Paso 16.3.3

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Paso 16.4

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $(0, 2 π)$ .

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Paso 16.4.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Paso 16.4.2

Simplifica.

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Paso 16.4.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Paso 16.4.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Paso 16.4.2.3

Combina fracciones.

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Paso 16.4.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Paso 16.4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Paso 16.4.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 16.4.2.4.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Paso 16.4.2.4.2

Suma $5 π$ y $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 16.4.3

El intervalo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$