Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} e^{x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $x^{2} e^{x}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Reescribe $x^{2} e^{x}$ como $\frac{x^{2}}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}}$

Paso 3.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 3.2.1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 3.2.1.3

Como el exponente $- x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 3.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 3.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Paso 3.2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot - 1}$

Paso 3.2.3.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Paso 3.2.3.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x}}$

Paso 3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{e^{- x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite.

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Paso 3.3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

Paso 3.3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Paso 3.4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 3.4.1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

$- 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 3.4.1.3

Como el exponente $- x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ .

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 3.4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 3.4.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 3.4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 3.4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.4.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.4.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Paso 3.4.3.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Paso 3.4.3.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 3.4.4.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Paso 3.4.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Paso 3.5

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Paso 3.6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{- x}}$ se acerca a $0$ .

$- 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Paso 3.7

Multiplica $- 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7