Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{49 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \sqrt{49 - x^{2}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Paso 1.2.2

Establece $7 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Establece $7 + x$ igual a $0$ .

$7 + x = 0$

Paso 1.2.2.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 1.2.3

Establece $7 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Establece $7 - x$ igual a $0$ .

$7 - x = 0$

Paso 1.2.3.2

Resuelve $7 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 7$

Paso 1.2.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.2.3.1

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Paso 1.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 7, 7$

Paso 1.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Paso 1.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 1.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Paso 1.2.6.1.3

$- 51$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Paso 1.2.6.2.3

$49$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 1.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Paso 1.2.6.3.3

$- 51$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 1.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 7 \leq x \leq 7$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 7, 7]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Notación de intervalo:

$[- 7, 7]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Paso 2

Para obtener los extremos, sustituye las cotas de los valores de $x$ del dominio en $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Paso 2.2.2

Resta $7$ de $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 - (- 7))}$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 + 7)}$

Paso 2.2.4

Suma $7$ y $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 \cdot 14}$

Paso 2.2.5

Multiplica $0$ por $14$ .

$f (- 7) = \sqrt{0}$

Paso 2.2.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 7) = \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 7) = 0$

Paso 2.2.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Paso 2.4

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.1

Elimina los paréntesis.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Paso 2.4.2

Suma $7$ y $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - (7))}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - 7)}$

Paso 2.4.4

Resta $7$ de $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 \cdot 0}$

Paso 2.4.5

Multiplica $14$ por $0$ .

$f (7) = \sqrt{0}$

Paso 2.4.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (7) = \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (7) = 0$

Paso 2.4.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

Los extremos son $(- 7, 0), (7, 0)$ .

$(- 7, 0), (7, 0)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 5$ en $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 5, 2 \sqrt{6})$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Paso 4.1.2.2

Resta $5$ de $7$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 - (- 5))}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 + 5)}$

Paso 4.1.2.4

Suma $7$ y $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 \cdot 12}$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $2$ por $12$ .

$f (- 5) = \sqrt{24}$

Paso 4.1.2.6

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$f (- 5) = \sqrt{4 (6)}$

Paso 4.1.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Paso 4.1.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 5) = 2 \sqrt{6}$

Paso 4.1.2.8

La respuesta final es $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 3$ en $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 3, 2 \sqrt{10})$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Paso 4.2.2.2

Resta $3$ de $7$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 - (- 3))}$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 + 3)}$

Paso 4.2.2.4

Suma $7$ y $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 \cdot 10}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $4$ por $10$ .

$f (- 3) = \sqrt{40}$

Paso 4.2.2.6

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 4.2.2.6.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (10)}$

Paso 4.2.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Paso 4.2.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 3) = 2 \sqrt{10}$

Paso 4.2.2.8

La respuesta final es $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 1, 4 \sqrt{3})$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Paso 4.3.2.2

Resta $1$ de $7$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 - (- 1))}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 + 1)}$

Paso 4.3.2.4

Suma $7$ y $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 \cdot 8}$

Paso 4.3.2.5

Multiplica $6$ por $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{48}$

Paso 4.3.2.6

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$f (- 1) = \sqrt{16 (3)}$

Paso 4.3.2.6.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (- 1) = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Paso 4.3.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 1) = 4 \sqrt{3}$

Paso 4.3.2.8

La respuesta final es $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . En este caso, el punto es $(3, 2 \sqrt{10})$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Paso 4.4.2.2

Suma $7$ y $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - (3))}$

Paso 4.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - 3)}$

Paso 4.4.2.4

Resta $3$ de $7$ .

$f (3) = \sqrt{10 \cdot 4}$

Paso 4.4.2.5

Multiplica $10$ por $4$ .

$f (3) = \sqrt{40}$

Paso 4.4.2.6

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 4.4.2.6.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$f (3) = \sqrt{4 (10)}$

Paso 4.4.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Paso 4.4.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (3) = 2 \sqrt{10}$

Paso 4.4.2.8

La respuesta final es $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Paso 4.5

Sustituye el valor $x$ $5$ en $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . En este caso, el punto es $(5, 2 \sqrt{6})$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Paso 4.5.2.2

Suma $7$ y $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - (5))}$

Paso 4.5.2.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - 5)}$

Paso 4.5.2.4

Resta $5$ de $7$ .

$f (5) = \sqrt{12 \cdot 2}$

Paso 4.5.2.5

Multiplica $12$ por $2$ .

$f (5) = \sqrt{24}$

Paso 4.5.2.6

Reescribe $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Paso 4.5.2.6.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$f (5) = \sqrt{4 (6)}$

Paso 4.5.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Paso 4.5.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (5) = 2 \sqrt{6}$

Paso 4.5.2.8

La respuesta final es $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Paso 4.6

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- 7, 0), (7, 0), (- 5, 4.9), (- 3, 6.32), (- 1, 6.93), (1, 6.93), (3, 6.32), (5, 4.9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 5 & 4.9 \\ - 3 & 6.32 \\ - 1 & 6.93 \\ 1 & 6.93 \\ 3 & 6.32 \\ 5 & 4.9 \\ 7 & 0 \end{array}$

Paso 5