Cálculo Ejemplos

$y = - x^{2} - 5 x + 6$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} - 5 x + 6$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = 6$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Paso 1.1.1.3.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{5}{2}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$e = 6 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 6 - \frac{25}{- 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 6 - - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- - \frac{25}{4}$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 6 + 1 (\frac{25}{4})$

Paso 1.1.1.4.2.1.4.2

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$e = 6 + \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = 6 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina $6$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{6 \cdot 4 + 25}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.2.5.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$e = \frac{24 + 25}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.5.2

Suma $24$ y $25$ .

$e = \frac{49}{4}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{49}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{5}{2}, 12)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{25}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{25}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{25}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 + 6$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 + 6$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (- 3) = - 9 - 5 \cdot - 3 + 6$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 15 + 6$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 9$ y $15$ .

$f (- 3) = 6 + 6$

Paso 2.2.2.2

Suma $6$ y $6$ .

$f (- 3) = 12$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $12$ .

$y = 12$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = - {(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4 + 6$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = - 1 \cdot 16 - 5 \cdot - 4 + 6$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- 4) = - 16 - 5 \cdot - 4 + 6$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 16 + 20 + 6$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 16$ y $20$ .

$f (- 4) = 4 + 6$

Paso 2.5.2.2

Suma $4$ y $6$ .

$f (- 4) = 10$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $10$ .

$y = 10$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 2.8.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Paso 2.8.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} - 5 \cdot - 1 + 6$

Paso 2.8.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 + 6$

Paso 2.8.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 \cdot - 1 + 6$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 5 + 6$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 1$ y $5$ .

$f (- 1) = 4 + 6$

Paso 2.8.2.2

Suma $4$ y $6$ .

$f (- 1) = 10$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $10$ .

$y = 10$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.11.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Paso 2.11.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$f (0) = 6$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 0$ es $6$ .

$y = 6$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 10 \\ - 3 & 12 \\ - \frac{5}{2} & \frac{49}{4} \\ - 1 & 10 \\ 0 & 6 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{49}{4})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, 12)$

Eje de simetría: $x = - \frac{5}{2}$

Directriz: $y = \frac{25}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 10 \\ - 3 & 12 \\ - \frac{5}{2} & \frac{49}{4} \\ - 1 & 10 \\ 0 & 6 \end{array}$

Paso 4