Cálculo Ejemplos

$y = 12 x - 3 x^{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Reordena $12 x$ y $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 12 x$

Paso 1.1.2

Completa el cuadrado de $- 3 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

Paso 1.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{6}{- 3}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $- 3$ .

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Paso 1.1.2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Paso 1.1.2.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 1.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.2.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

Paso 1.1.2.4.2.1.3

Divide $144$ por $- 12$ .

$e = 0 - - 12$

Paso 1.1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$e = 0 + 12$

Paso 1.1.2.4.2.2

Suma $0$ y $12$ .

$e = 12$

Paso 1.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 3 {(x - 2)}^{2} + 12$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} + 12$

Paso 1.1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 12$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 3$

$h = 2$

$k = 12$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 12)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{12}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, \frac{143}{12})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{145}{12}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(2, 12)$

Foco: $(2, \frac{143}{12})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = \frac{145}{12}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(2, 12)$

Foco: $(2, \frac{143}{12})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = \frac{145}{12}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (1) = - 3 + 12 (1)$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$f (1) = - 3 + 12$

Paso 2.2.2

Suma $- 3$ y $12$ .

$f (1) = 9$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $9$ .

$y = 9$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 3 {(0)}^{2} + 12 (0)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 12 (0)$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 12 (0)$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 0$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3)$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$f (3) = - 27 + 12 (3)$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $12$ por $3$ .

$f (3) = - 27 + 36$

Paso 2.8.2

Suma $- 27$ y $36$ .

$f (3) = 9$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $9$ .

$9$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 3$ es $9$ .

$y = 9$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - 3 {(4)}^{2} + 12 (4)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = - 3 \cdot 16 + 12 (4)$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$f (4) = - 48 + 12 (4)$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $12$ por $4$ .

$f (4) = - 48 + 48$

Paso 2.11.2

Suma $- 48$ y $48$ .

$f (4) = 0$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 12 \\ 3 & 9 \\ 4 & 0 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(2, 12)$

Foco: $(2, \frac{143}{12})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = \frac{145}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 9 \\ 2 & 12 \\ 3 & 9 \\ 4 & 0 \end{array}$

Paso 4