Cálculo Ejemplos

$x = y^{2} - 5 y$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $y^{2} - 5 y$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{5}{2}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 6, \frac{5}{2})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = \frac{5}{2}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{13}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Eje de simetría: $y = \frac{5}{2}$

Directriz: $x = - \frac{13}{2}$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Eje de simetría: $y = \frac{5}{2}$

Directriz: $x = - \frac{13}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Sustituye el valor $x$ $- 5.25$ en $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 5.25, 3.5)$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5.25$ en la expresión.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Resta $21$ de $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

Paso 2.1.2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Paso 2.1.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

Paso 2.1.2.1.5

Suma $5$ y $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $7$ y $2$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Reescribe $7$ como $1 (7)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.2.1

Reescribe $2$ como $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Paso 2.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Paso 2.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Paso 2.1.3

Convierte $\frac{7}{2}$ a decimal.

$= 3.5$

Paso 2.2

Sustituye el valor $x$ $- 5.25$ en $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 5.25, 1.5)$ .

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5.25$ en la expresión.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Resta $21$ de $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

Paso 2.2.2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Paso 2.2.2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

Paso 2.2.2.1.6

Resta $2$ de $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ y $2$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Reescribe $3$ como $1 (3)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.2.1

Reescribe $2$ como $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Paso 2.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Paso 2.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Paso 2.2.3

Convierte $\frac{3}{2}$ a decimal.

$= 1.5$

Paso 2.3

Sustituye el valor $x$ $- 4.25$ en $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.25$ en la expresión.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Resta $17$ de $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Paso 2.3.2.2

La respuesta final es $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Paso 2.4

Sustituye el valor $x$ $- 4.25$ en $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

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Paso 2.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.25$ en la expresión.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Resta $17$ de $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Paso 2.4.2.2

La respuesta final es $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Paso 2.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Eje de simetría: $y = \frac{5}{2}$

Directriz: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Paso 4