Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 - x^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 - x^{2} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 2$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Paso 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Paso 1.2.5

Escribe $| x | \leq \sqrt{2}$ como una función definida por partes.

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Paso 1.2.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 1.2.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 1.2.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.2.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Paso 1.2.6

Obtén la intersección de $x \leq \sqrt{2}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.2.7

Resuelve $- x \leq \sqrt{2}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 1.2.7.1

Divide cada término en $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.7.1.1

Divide cada término de $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Paso 1.2.7.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Paso 1.2.7.2

Obtén la intersección de $x \geq - \sqrt{2}$ y $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Paso 1.2.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notación de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Paso 2

Para obtener los extremos, sustituye las cotas de los valores de $x$ del dominio en $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 2.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Paso 2.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.2.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Paso 2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 2.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Paso 2.2.5.2

Resta $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

Paso 2.2.5.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.5.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

Paso 2.2.6

Multiplica $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0$

Paso 2.2.7

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Paso 2.4.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 2.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 2.4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 2.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Paso 2.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Paso 2.4.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

Paso 2.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Paso 2.4.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Paso 2.4.3.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

Paso 2.4.3.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\sqrt{2}) = 0$

Paso 2.4.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

Los extremos son $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ .

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

Paso 4

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Paso 5