Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = x \sqrt{16 - x^{2}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Paso 1.2.2

Establece $4 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Establece $4 + x$ igual a $0$ .

$4 + x = 0$

Paso 1.2.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 1.2.3

Establece $4 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Establece $4 - x$ igual a $0$ .

$4 - x = 0$

Paso 1.2.3.2

Resuelve $4 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 1.2.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 1.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 4, 4$

Paso 1.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Paso 1.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 1.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Paso 1.2.6.1.3

$- 20$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Paso 1.2.6.2.3

$16$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 1.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Paso 1.2.6.3.3

$- 20$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 1.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x \leq 4$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 4, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Notación de intervalo:

$[- 4, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Paso 2

Para obtener los extremos, sustituye las cotas de los valores de $x$ del dominio en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 4) = - 4 \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Paso 2.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 (4 + 4)}$

Paso 2.2.4

Suma $4$ y $4$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0 \cdot 8}$

Paso 2.2.5

Multiplica $0$ por $8$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0}$

Paso 2.2.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 4) = - 4 \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.7

Multiplica por cero.

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Paso 2.2.7.1

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 4) = - 4 \cdot 0$

Paso 2.2.7.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (- 4) = 0$

Paso 2.2.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Paso 2.4

Simplifica el resultado.

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Paso 2.4.1

Elimina los paréntesis.

$f (4) = 4 \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Paso 2.4.2

Suma $4$ y $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - (4))}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 (4 - 4)}$

Paso 2.4.4

Resta $4$ de $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{8 \cdot 0}$

Paso 2.4.5

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (4) = 4 \sqrt{0}$

Paso 2.4.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (4) = 4 \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.7

Multiplica por cero.

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Paso 2.4.7.1

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (4) = 4 \cdot 0$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (4) = 0$

Paso 2.4.8

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

Los extremos son $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Paso 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 3$ en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 3, - 3 \sqrt{7})$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 3) = - 3 \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Paso 4.1.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $4 - (- 3)$ por $1$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 - (- 3)}$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{4 + 3}$

Paso 4.1.2.5

Suma $4$ y $3$ .

$f (- 3) = - 3 \sqrt{7}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $- 3 \sqrt{7}$ .

$y = - 3 \sqrt{7}$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 2$ en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 2, - 4 \sqrt{3})$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 (4 + 2)}$

Paso 4.2.2.4

Suma $4$ y $2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 6}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $2$ por $6$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{12}$

Paso 4.2.2.6

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.2.2.6.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (3)}$

Paso 4.2.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Paso 4.2.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{3})$

Paso 4.2.2.8

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{3}$

Paso 4.2.2.9

La respuesta final es $- 4 \sqrt{3}$ .

$y = - 4 \sqrt{3}$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . En este caso, el punto es $(- 1, - \sqrt{15})$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Paso 4.3.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 (4 + 1)}$

Paso 4.3.2.4

Suma $4$ y $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{3 \cdot 5}$

Paso 4.3.2.5

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{15}$

Paso 4.3.2.6

Reescribe $- 1 \sqrt{15}$ como $- \sqrt{15}$ .

$f (- 1) = - \sqrt{15}$

Paso 4.3.2.7

La respuesta final es $- \sqrt{15}$ .

$y = - \sqrt{15}$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . En este caso, el punto es $(0, 0)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (0) = 0 \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Paso 4.4.2.2

Suma $4$ y $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 - (0))}$

Paso 4.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (4 + 0)}$

Paso 4.4.2.4

Suma $4$ y $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 \cdot 4}$

Paso 4.4.2.5

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

Paso 4.4.2.6

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

Paso 4.4.2.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 0 \cdot 4$

Paso 4.4.2.8

Multiplica $0$ por $4$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.4.2.9

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 4.5

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . En este caso, el punto es $(1, \sqrt{15})$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (1) = 1 \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Paso 4.5.2.2

Multiplica $\sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Paso 4.5.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Paso 4.5.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Paso 4.5.2.5

Resta $1$ de $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Paso 4.5.2.6

Multiplica $5$ por $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Paso 4.5.2.7

La respuesta final es $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Paso 4.6

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . En este caso, el punto es $(2, 4 \sqrt{3})$ .

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Paso 4.6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Paso 4.6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (2) = 2 \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Paso 4.6.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - (2))}$

Paso 4.6.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 (4 - 2)}$

Paso 4.6.2.4

Resta $2$ de $4$ .

$f (2) = 2 \sqrt{6 \cdot 2}$

Paso 4.6.2.5

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (2) = 2 \sqrt{12}$

Paso 4.6.2.6

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.6.2.6.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f (2) = 2 \sqrt{4 (3)}$

Paso 4.6.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = 2 \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Paso 4.6.2.7

Retira los términos de abajo del radical.

$f (2) = 2 (2 \sqrt{3})$

Paso 4.6.2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = 4 \sqrt{3}$

Paso 4.6.2.9

La respuesta final es $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Paso 4.7

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = x \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . En este caso, el punto es $(3, 3 \sqrt{7})$ .

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Paso 4.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Paso 4.7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (3) = 3 \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Paso 4.7.2.2

Suma $4$ y $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - (3))}$

Paso 4.7.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 (4 - 3)}$

Paso 4.7.2.4

Resta $3$ de $4$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7 \cdot 1}$

Paso 4.7.2.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$f (3) = 3 \sqrt{7}$

Paso 4.7.2.6

La respuesta final es $3 \sqrt{7}$ .

$y = 3 \sqrt{7}$

Paso 4.8

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, - 7.94), (- 2, - 6.93), (- 1, - 3.87), (0, 0), (1, 3.87), (2, 6.93), (3, 7.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - 7.94 \\ - 2 & - 6.93 \\ - 1 & - 3.87 \\ 0 & 0 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 6.93 \\ 3 & 7.94 \\ 4 & 0 \end{array}$

Paso 5