Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2} + 6 x - 11$ , $x = - 2$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$y = 5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$

Paso 1.2

Simplifica $5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = 5 \cdot 4 + 6 (- 2) - 11$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$y = 20 + 6 (- 2) - 11$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$y = 20 - 12 - 11$

Paso 1.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 1.2.2.1

Resta $12$ de $20$ .

$y = 8 - 11$

Paso 1.2.2.2

Resta $11$ de $8$ .

$y = - 3$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = - 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 6 x - 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$10 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x + 6 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $10 x + 6$ y $0$ .

$10 x + 6$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$10 (- 2) + 6$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Multiplica $10$ por $- 2$ .

$- 20 + 6$

Paso 2.6.2

Suma $- 20$ y $6$ .

$- 14$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 14$ y un punto dado $(- 2, - 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = - 14 \cdot (x - (- 2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 14 \cdot (x + 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y + 3 = 0 + 0 - 14 \cdot (x + 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = - 14 x - 14 \cdot 2$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 14$ por $2$ .

$y + 3 = - 14 x - 28$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 14 x - 28 - 3$

Paso 3.3.2.2

Resta $3$ de $- 28$ .

$y = - 14 x - 31$

Paso 4