Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.10

Reescribe $- (x^{2} - 2 x - 4)$ como $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 2.3.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.3.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.3.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 2.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.3.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.3.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 2.3.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.3.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.3.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Paso 2.3.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Paso 2.3.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1 + \sqrt{5}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1 + \sqrt{5}$ por $x$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $0$ y $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ .

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.1.2.2.2

Expande $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.1.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.1.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.2.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.1.2

Multiplica $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.1.3

Multiplica $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.1.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.1.6

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.2

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.1.2.2.3.3

Suma $\sqrt{5}$ y $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.1.2.2.4

Suma $6$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ por $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ por $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

Paso 4.1.2.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Simplifica.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

Paso 4.1.2.7

Cancela el factor común de $10 - 2 \sqrt{5}$ y $80$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Factoriza $2$ de $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

Paso 4.1.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $80$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Paso 4.1.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Paso 4.1.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

Paso 4.1.2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Paso 4.1.2.9

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Paso 4.1.2.10.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

Paso 4.1.2.10.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

Paso 4.1.2.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

Paso 4.1.2.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

Paso 4.1.2.11

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.11.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.1.2.11.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

Paso 4.1.2.11.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

Paso 4.1.2.11.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Paso 4.1.2.11.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.11.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Paso 4.1.2.11.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

Paso 4.1.2.11.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

Paso 4.1.2.11.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

Paso 4.1.2.12

Cancela el factor común de $5 \sqrt{5} - 5$ y $40$ .

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Paso 4.1.2.12.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

Paso 4.1.2.12.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

Paso 4.1.2.12.3

Factoriza $5$ de $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

Paso 4.1.2.12.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.12.4.1

Factoriza $5$ de $40$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

Paso 4.1.2.12.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

Paso 4.1.2.12.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1 - \sqrt{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sustituye $1 - \sqrt{5}$ por $x$ .

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $\sqrt{5}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Reescribe ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.2.2.2.2

Expande $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.2.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.2.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.2.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.2.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.2

Multiplica $- \sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Paso 4.2.2.2.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.2.2.2.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.2

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.2.2.2.3.3

Resta $\sqrt{5}$ de $- \sqrt{5}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

Paso 4.2.2.2.4

Suma $6$ y $4$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Paso 4.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ por $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

Paso 4.2.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.2.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ por $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

Paso 4.2.2.5.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 4.2.2.5.3

Simplifica.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

Paso 4.2.2.5.4

Cancela el factor común de $10 + 2 \sqrt{5}$ y $80$ .

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Paso 4.2.2.5.4.1

Factoriza $2$ de $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

Paso 4.2.2.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.5.4.2.1

Factoriza $2$ de $80$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Paso 4.2.2.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Paso 4.2.2.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

Paso 4.2.2.5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Paso 4.2.2.5.6

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Paso 4.2.2.5.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

Paso 4.2.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.6.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

Paso 4.2.2.6.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

Paso 4.2.2.6.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

Paso 4.2.2.7

Cancela el factor común de $5 \sqrt{5} + 5$ y $40$ .

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Paso 4.2.2.7.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{5}$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

Paso 4.2.2.7.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

Paso 4.2.2.7.3

Factoriza $5$ de $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

Paso 4.2.2.7.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.7.4.1

Factoriza $5$ de $40$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

Paso 4.2.2.7.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

Paso 4.2.2.7.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

Paso 5