Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Paso 1.1.3.6

Mueve $8$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Factoriza $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Factoriza $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Paso 1.1.4.1.2

Factoriza $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Paso 1.1.4.1.3

Factoriza $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Paso 1.1.4.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{7}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{7}$ igual a $0$ .

$x^{7} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{7} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica $\sqrt[7]{0}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Paso 2.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 2.4

Establece ${(x - 1)}^{6}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece ${(x - 1)}^{6}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{6} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $7 x + 8 (x - 1)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $7 x + 8 (x - 1)$ igual a $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $7 x + 8 (x - 1) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Simplifica $7 x + 8 (x - 1)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Paso 2.5.2.1.1.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Paso 2.5.2.1.2

Suma $7 x$ y $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Paso 2.5.2.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$15 x = 8$

Paso 2.5.2.3

Divide cada término en $15 x = 8$ por $15$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Divide cada término en $15 x = 8$ por $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Paso 2.5.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.3.2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 2.5.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Paso 2.5.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Paso 4.1.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Paso 4.1.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$0 \cdot - 1$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Paso 4.2.2.2

Multiplica ${((1) - 1)}^{7}$ por $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Paso 4.2.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$0^{7}$

Paso 4.2.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{8}{15}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{8}{15}$ por $x$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Paso 4.3.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Paso 4.3.2.3

Eleva $15$ a la potencia de $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Paso 4.3.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Paso 4.3.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Paso 4.3.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Paso 4.3.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Paso 4.3.2.7.2

Resta $15$ de $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Paso 4.3.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Paso 4.3.2.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Paso 4.3.2.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Paso 4.3.2.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Paso 4.3.2.11

Eleva $7$ a la potencia de $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Paso 4.3.2.12

Eleva $15$ a la potencia de $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Paso 4.3.2.13

Multiplica $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

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Paso 4.3.2.13.1

Multiplica $\frac{16777216}{2562890625}$ por $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Paso 4.3.2.13.2

Multiplica $16777216$ por $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Paso 4.3.2.13.3

Multiplica $2562890625$ por $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Paso 5