Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $108$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{108}{x}$ con respecto a $x$ es $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $108$ .

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina $- 108$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{108}{x^{2}}$ al numerador.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 108 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $108$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} = 108$

Paso 2.4.2

Resta $108$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} - 108 = 0$

Paso 2.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3} - 108$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

Paso 2.4.3.1.2

Factoriza $4$ de $- 108$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

Paso 2.4.3.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ .

$4 (x^{3} - 27) = 0$

Paso 2.4.3.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Paso 2.4.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.4

Factoriza.

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Paso 2.4.3.4.1

Simplifica.

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Paso 2.4.3.4.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Paso 2.4.3.4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Paso 2.4.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Paso 2.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Paso 2.4.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.4.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.4.6

Establece $x^{2} + 3 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.6.1

Establece $x^{2} + 3 x + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Paso 2.4.6.2

Resuelve $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.4.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.4.6.2.5.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 2.4.6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{108}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$18 + \frac{108}{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Divide $108$ por $3$ .

$18 + 36$

Paso 4.1.2.2

Suma $18$ y $36$ .

$54$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

Paso 4.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(3, 54)$

Paso 5