Cálculo Ejemplos

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{3} - 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $15 u$ de $- 15 u^{2} + 60 u$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $15 u$ de $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza $15 u$ de $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Paso 2.2.3.3

Factoriza $15 u$ de $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $- x^{2} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $- x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- x^{2} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 4$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Paso 2.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.5.2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, - 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $20 x^{3} - 3 x^{5}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $20$ por $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{5}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 3 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$20 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{5}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$20 \cdot 8 - 3 {(2)}^{5}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $20$ por $8$ .

$160 - 3 {(2)}^{5}$

Paso 4.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$160 - 3 \cdot 32$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $32$ .

$160 - 96$

Paso 4.2.2.2

Resta $96$ de $160$ .

$64$

Paso 4.3

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$20 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{5}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$20 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $20$ por $- 8$ .

$- 160 - 3 {(- 2)}^{5}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$- 160 - 3 \cdot - 32$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 32$ .

$- 160 + 96$

Paso 4.3.2.2

Suma $- 160$ y $96$ .

$- 64$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (2, 64), (- 2, - 64)$

Paso 5