Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (27)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $12 x^{3} - 60 x$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{3} - 60 x$ .

$12 x^{3} - 60 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{3} - 60 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{3} - 60 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3} - 60 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $- 60 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 5) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 5)$ .

$12 x (x^{2} - 5) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 5$ igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 5$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x^{2} - 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{4} - 30 {(0)}^{2} + 27$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 30 \cdot 0 + 27$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 30$ por $0$ .

$0 + 0 + 27$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 27$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $27$ .

$27$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \sqrt{5}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\sqrt{5}$ por $x$ .

$3 {(\sqrt{5})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $25$ .

$75 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Paso 4.2.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Paso 4.2.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Paso 4.2.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Paso 4.2.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Paso 4.2.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $- 30$ por $5$ .

$75 - 150 + 27$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $150$ de $75$ .

$- 75 + 27$

Paso 4.2.2.2.2

Suma $- 75$ y $27$ .

$- 48$

Paso 4.3

Evalúa en $x = - \sqrt{5}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- \sqrt{5}$ por $x$ .

$3 {(- \sqrt{5})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{5}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$3 (1 {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{5}}^{4}$ por $1$ .

$3 {\sqrt{5}}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $3$ por $25$ .

$75 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.7

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{5}$ .

$75 - 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Paso 4.3.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$75 - 30 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Paso 4.3.2.1.9

Multiplica ${\sqrt{5}}^{2}$ por $1$ .

$75 - 30 {\sqrt{5}}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.10

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Paso 4.3.2.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Paso 4.3.2.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Paso 4.3.2.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Paso 4.3.2.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Paso 4.3.2.1.10.5

Evalúa el exponente.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Paso 4.3.2.1.11

Multiplica $- 30$ por $5$ .

$75 - 150 + 27$

Paso 4.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.3.2.2.1

Resta $150$ de $75$ .

$- 75 + 27$

Paso 4.3.2.2.2

Suma $- 75$ y $27$ .

$- 48$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 27), (\sqrt{5}, - 48), (- \sqrt{5}, - 48)$

Paso 5