Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$21 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$21 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$21 x^{2} - 12 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $21 x^{2} - 12 x$ y $0$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 12 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $21 x^{2} - 12 x$ .

$21 x^{2} - 12 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $21 x^{2} - 12 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$21 x^{2} - 12 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3 x$ de $21 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3 x$ de $21 x^{2}$ .

$3 x (7 x) - 12 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $3 x$ de $- 12 x$ .

$3 x (7 x) + 3 x (- 4) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (7 x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (7 x - 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$7 x - 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $7 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $7 x - 4$ igual a $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $7 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$7 x = 4$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $7 x = 4$ por $7$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $7 x = 4$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x (7 x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{4}{7}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$7 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$7 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $7$ por $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 1$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{4}{7}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{4}{7}$ por $x$ .

$7 {(\frac{4}{7})}^{3} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{7}$ .

$7 \frac{4^{3}}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$7 \frac{64}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$7 (\frac{64}{343}) - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.2.2.1.4.1

Factoriza $7$ de $343$ .

$7 \frac{64}{7 (49)} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$7 \frac{64}{7 \cdot 49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{64}{49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Paso 4.2.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{7}$ .

$\frac{64}{49} - 6 \frac{4^{2}}{7^{2}} + 1$

Paso 4.2.2.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 \frac{16}{7^{2}} + 1$

Paso 4.2.2.1.7

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 (\frac{16}{49}) + 1$

Paso 4.2.2.1.8

Multiplica $- 6 (\frac{16}{49})$ .

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Paso 4.2.2.1.8.1

Combina $- 6$ y $\frac{16}{49}$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 6 \cdot 16}{49} + 1$

Paso 4.2.2.1.8.2

Multiplica $- 6$ por $16$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 96}{49} + 1$

Paso 4.2.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{64}{49} - \frac{96}{49} + 1$

Paso 4.2.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{64 - 96}{49}$

Paso 4.2.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Resta $96$ de $64$ .

$1 + \frac{- 32}{49}$

Paso 4.2.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{32}{49}$

Paso 4.2.2.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{49}{49} - \frac{32}{49}$

Paso 4.2.2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{49 - 32}{49}$

Paso 4.2.2.2.2.5

Resta $32$ de $49$ .

$\frac{17}{49}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 1), (\frac{4}{7}, \frac{17}{49})$

Paso 5