Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 1.1.7

Combina $2$ y $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}$ .

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Paso 1.1.8.4.2.1

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.2.2

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.8.6

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.8.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.8.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Paso 1.1.8.6.3

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.2.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.2.3

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.3.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2.3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Paso 4

Evalúa $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0^{2} - 1}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0 - 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{- 1}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Paso 4.1.2.3.2

Divide $0$ por $- 1$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{1 - 1}$

Paso 4.2.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{0}$

Paso 4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{{(1)}^{2} - 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{1 - 1}$

Paso 4.3.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{0}$

Paso 4.3.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 5