Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 1.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Paso 1.1.4

Simplifica.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Paso 1.1.5.2

Multiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Paso 1.1.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.11

Combina fracciones.

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Paso 1.1.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.11.3

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.11.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)}{x - 1})$

Paso 1.1.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

Paso 1.1.14

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x - 1})$

Paso 1.1.15

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1})$

Paso 1.1.15.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.16

Para escribir ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.17

Combina ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.19

Multiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.19.1

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.19.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.19.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.19.5

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.20

Simplifica ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.21

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Paso 1.1.22

Reescribe $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ como un producto.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1})$

Paso 1.1.23

Multiplica $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)})$

Paso 1.1.24

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 ((x - 1) {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Paso 1.1.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.26

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.26.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Paso 1.1.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Paso 1.1.26.3

Suma $2$ y $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 1.1.27

Combina $2$ y $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.28

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.29

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.30

Simplifica.

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Paso 1.1.30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.30.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.30.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.1.30.2.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 2 = 0$

Paso 2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 1)}^{3} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.4

Establece el radicando en $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{3} < 0$

Paso 3.5

Resuelve $x$

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Paso 3.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 3.5.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x - 1 < \sqrt[3]{0}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x - 1 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x - 1 < 0$

Paso 3.5.3

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < 1$

Paso 3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Paso 4

Evalúa $\frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{2 (2)}{\sqrt{(2) - 1}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{2 - 1}}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{1}}$

Paso 4.1.2.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{4}{1}$

Paso 4.1.2.3

Divide $4$ por $1$ .

$4$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{(1) - 1}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{2 (1)}{\sqrt{1 - 1}}$

Paso 4.2.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0}}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0^{2}}}$

Paso 4.2.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 (1)}{0}$

Paso 4.2.2.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(2, 4)$

Paso 5