Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} - 2 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{3} - 4 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - 2 {(0)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 - 2 {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1.3.1

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $1$ .

$4 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 + {(- 2)}^{1 + 2}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$4 + {(- 2)}^{3}$

Paso 4.2.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$4 - 8$

Paso 4.2.2.2

Resta $8$ de $4$ .

$- 4$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{4} - 2 {(2)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2 {(2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 - 2 {(2)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 - 2 \cdot 4$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$4 - 8$

Paso 4.3.2.2

Resta $8$ de $4$ .

$- 4$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (- 2, - 4), (2, - 4)$

Paso 5